Ação de Permutação na Teoria dos Grupos: Definição e Transitividade Nítida

Na teoria dos grupos, uma ação de permutação de um grupo G em um conjunto S é um homomorfismo G → Sym(S).

Uma ação premutação (também chamada de ação fracamente transitiva) ocorre quando existe um subconjunto não vazio A ⊆ S tal que para todo g ∈ G, g·A = A (o subconjunto é globalmente invariante sob a ação).

Se S contém exatamente um tal subconjunto não vazio invariante, a ação é nítida e transitiva (ou nítida e 1-transitiva): para qualquer x, y ∈ S, existe um único g ∈ G com g·x = y. Isso implica |G| = |S| e a ação é regular (livre e transitiva).

Nota: "Premutação" é não padrão; "fracamente transitiva" ou "admitindo um bloco não trivial" é mais comum. Ações nítidas e transitivas são equivalentes a ações regulares.